Il Gomitolo

Ciao Lino,
hai analizzato correttamente la frase.

In realtà il 'che' nella seconda parte della frase è molto più semplice di quanto tu creda.

Il primo 'che' si riferiva alla mela e quindi giustamente tu hai detto che è c.oggetto perché il ragionamento da fare è: ho messo in cucina, che cosa? la mela e cioè il che pronome relativo che la sostituisce.

Il secondo 'che' invece si trova dopo il complemento d'agente 'da Anna'. A questo punto per capire se il che pronome relativo è complemento oggetto o soggetto dobbiamo subito analizzare il predicato verbale. Il verbo è vive, declinato alla terza persona singolare; a questo punto ci chiediamo 'chi vive?', ovvero chi è il soggetto che compie l'azione di vivere a Roma?. Il soggetto della frase è quindi per forza Anna che viene sostituito dal che pronominale.
Infatti se ci fai caso la frase potrebbe essere scritta così "mi è stata regalata da Anna, la quale (= Anna, sostituito con il che) vive a Roma".
Quindi è Anna che vive a Roma ed è il soggetto del verbo 'vive' che viene sostituito dal pronome relativo che.

Non so se ti può aiutare, ma nel caso ti dia problemi la forma passiva puoi anche trasformarla in forma attiva.
Quindi: "Anna, che vive a Roma, mi ha regalato una mela che ho messo in cucina".
Forse se trasformi in forma attiva, capisci meglio perché il che una volta è soggetto e poi complemento oggetto.
Ovviamente per passare alla forma attiva ti ricorderai che basta trasformare il complemento d'agente in soggetto e quello che era il soggetto (la mela) nella forma passiva diventa complemento oggetto.

Per ulteriori esercizi e spiegazioni sul che in analisi logica guarda qui:
- http://www.linkuaggio.com/2011/10/il-che-pronome-relativo-e-soggetto-o.html
- http://ripassofacile.blogspot.it/2013/10/frasi-con-che-soggetto-e-complemento.html

Spero di averti aiutato. Se hai ancora dubbi sono qui.

Ciao!