Teorema di Ruffini: quando si può usare e come
#7069
Il 06/04/2016 Stellina di 14 anni ha scritto:
ciao!avevo bisogno di un vostro aiuto per matemaatica molto urgentemente!mi potete rispondere entro questo pomeriggio o anche verso la sera tardi perché ho la verifica di algebra domani.
-Il teorema di ruffini : si puo usare sempre per scomporre un polinomio ? se non si puo usare sempre,mi potete fare anche un paio di esempi dei casi in cui non si puo usare per favore?
- io non ho capito molto la divisione tra polinomio e monomio con il metodo tradizionale, cioè ho capito come si fa rispetto ad una variabile ma non con due... mi spiego meglio con un esempio :
(x^2y^3 - xy - 1 ) : ( xy + 2 ). esegui la divisione rispetto alla variabile x , era questo che dicevo.
io non voglio tanto la soluzione per l'es. o qualcuno che lo faccia al mio posto ma e' perché avendo la verifica e in classe non fatto volevo che me lo spiegaste. va bene anche se mi indicate un sito dove sia spiegato molto bene e in modo chiaro.
Spero tanto mi rispondiate perché e' una cosa urgente in quanto ho la verifica e vorrei andare bene in essa.
grazie tante
p.s se avete dei siti dove fare verifiche online su questi argomenti me li potete dire? :)
La mia risposta:
Ciao Stellina,
mi spiace, purtroppo nessuno di noi ieri è riuscito a rispondere. La prossima volta sapendo che hai una verifica e che degli argomenti non sono chiari scrivici per tempo, non ridurti al giorno prima...
In ogni caso cercherò di chiarire i tuoi dubbi, la scomposizione ti servirà sempre.
Il teorema di Ruffini non si può usare sempre per scomporre un polinomio, e comunque ricorda che di solito viene usato solo come ultima spiaggia: prima prova a scomporre un polinomio con tutti gli altri metodi, quindi raccoglimento a fattor totale, a fattor parziale, trinomi speciali, prodotti notevoli ecc. Se nulla di questo riesce, prova con Ruffini; se neanche così riesci a scomporlo, è irriducibile.
Per prima cosa, ricordiamoci qual è il divisore di una divisione per Ruffini: è sempre un polinomio di primo grado a una sola incognita di tipo x - a: x è l'incognita, e a è un termine noto. Ad esempio, potremmo trovare come divisore x-2, o x+3, o x+1: la x ± un numero.
Per spiegarti quando si può usare e quando no, dobbiamo prima enunciare un teorema che adesso ti sembrerà complicato perché gli enunciati dei teoremi sembrano sempre complicati, ma quando faremo un esempio non sembrerà così difficile. Il teorema di Ruffini afferma che l'opposto del termine noto del divisore, sostituito alla x del polinomio A di variabile x, che chiamiamo A(x), ci dà l'espressione che svolta fornisce il resto della divisione.
Affinché un'espressione sia divisibile per un'altra espressione, il resto deve essere 0; quindi, dobbiamo trovare un numero tale che, sostituendo il suo opposto alla x del polinomio da dividere, il risultato dell'espressione è 0. Questi numeri che troveremo si chiamano RADICI o ZERI del polinomio. Quando hai un polinomio, devi quindi trovare i suoi possibili zeri (si chiamano così ma non sono 0, sono dei numeri il cui opposto porta a 0 il polinomio) e provare a sostituire i loro OPPOSTI alla x (non dimenticarti mai di mettere il - davanti altrimenti si sbaglia tutto). Se ottieni 0 dall'espressione, sostituendo, allora il polinomio è divisibile per quella x - a. Ti starai però chiedendo quali sono i possibili zeri del polinomio, quelli fra cui cercare, quelli di cui devi provare a sostituire l'opposto alla x del polinomio per vedere se esce 0.
1) Prima di tutto, guardiamo fra i numeri interi, perché in quel caso è molto più semplice: devi solo controllare fra i DIVISORI DEL TERMINE NOTO.
2) Se nessuno dei divisori del termine noto porta a 0 l'espressione, guardiamo fra i numeri razionali: devi controllare fra tutte le frazioni che hanno:
• al numeratore, un DIVISORE DEL TERMINE NOTO quindi come prima;
• al denominatore, invece, un DIVISORE DEL COEFFICIENTE DEL TERMINE DI GRADO MASSIMO (quindi se hai per esempio 2x³-x²+2x-1, i possibili denominatori sono i coefficienti del termine di grado massimo che è 2x³: i divisori da mettere al denominatore del possibile zero sono 2, -2, 1 e -1).
Se nessuno di questi metodi funziona, non è scomponibile con Ruffini.
Facciamo un esempio!
Immaginiamo di avere questo polinomio (l'ho preso dal libro Matematica multimediale.blu di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi, pubblicato dalla Zanichelli perché inventarne è un po' difficile ed avevo già gli esercizi pronti):
A(x) = 2x³-9x²+7x+6
Abbiamo bisogno di scomporlo, abbiamo provato tutte le tecniche, ma non siamo riuscite in alcun modo. Ricorriamo a Ruffini, sperando che ci possa aiutare lui, altrimenti è irriducibile.
Ci ricordiamo del teorema di Ruffini, che dice che quel polinomio A(x) è divisibile per il binomio di 1° grado x - a se e solo se A(a) = 0, quindi se e solo se l'opposto di a, cioè il termine noto del binomio divisore, sostituito alla x del polinomio, porta a un'espressione che dà 0.
Quindi, pensiamo che dobbiamo trovare i possibili zeri del polinomio, e poi provare a sostituire l'opposto di ognuno cercando uno che sostituito dia un'espressione che risulti 0.
Cerchiamo per prima cosa fra gli zeri interi, quindi i divisori del termine noto.
Il termine noto di questo polinomio è +6.
I divisori di +6 (attenta, devi considerare e provare sia negativi sia positivi) sono:
+6, -6, -3, +3, +2, -2, +1 e -1.
Sono tanti; cominciamo da +6 andando in ordine.
L'opposto è -6, quindi sostituisco -6 alla x:
A(-6)= 2(-6)³-9(-6)²+7(-6)+6 ti risparmio un po' di calcoli che altrimenti dovremmo effettuare dicendoti che il risultato non è 0, quindi dobbiamo provare qualcos'altro.
Proviamo con -6; l'opposto è +6 quindi sostituiamo +6 alla x:
A(6)= 2(6)³-9(6)²+7(6)+6=432-324+42+6= diverso da 0. Quindi neanche -6 va bene.
Proviamo adesso con -3. L'opposto è +3 e lo sostituiamo alla x:
A(3)=2(3)³-9(3)²+7(3)+6= 54-81+21+6 = 0. Finalmente abbiamo trovato un'espressione che dà 0! Quindi, uno zero del polinomio è -3.
Facciamo la divisione con Ruffini, quella con la tabella, qui mi è molto difficile riprodurla ma immagino tu la sappia fare altrimenti non mi avresti chiesto quando si può usare ma come si usa. Il risultato è 2x²-3x-2. Quindi, il polinomio iniziale è uguale a (2x²-3x-2)(x-3).
Ma se anche il polinomio che abbiamo trovato fosse scomponibile con Ruffini? Proviamo a ripetere!
Cerchiamo di nuovo fra gli zeri del polinomio: cerchiamo prima fra i numeri interi, quindi fra i divisori del termine noto.
Il termine noto ora è -2. I suoi divisori sono:
-2, +2, -1, +1.
Proviamo con -2; sostituiamo alla x +2, cioè l'opposto:
B(2)=2(2)²-3(2)-2 = 8-6-2=0 siamo state fortunatissime e abbiamo trovato lo zero al primo colpo!
Facciamo l'altra divisione con Ruffini per x-2 (quindi mettendo nell'angolo in basso a sinistra nella tabella il +2, cioè quello che abbiamo sostituito). Il risultato è 2x+1. E' di primo grado, quindi non possiamo dividere ulteriormente.
Abbiamo quindi scomposto il polinomio: 2x³-9x²+7x+6 = (2x+1)(x-2)(x-3)!
Ho fatto tutto quest'esempio per arrivare al fatto che se non trovi un numero che ti porti l'espressione a 0 sostituendo l'opposto né fra gli zeri interi né fra quelli relativi, non è scomponibile con Ruffini. Credo che questa ripetizione comunque abbia fatto bene, no?
Per quanto riguarda la seconda richiesta, se la x è la variabile, la y è un parametro; considerala come un numero.
Se hai ancora difficoltà riscrivici pure.
Ciao!
mi spiace, purtroppo nessuno di noi ieri è riuscito a rispondere. La prossima volta sapendo che hai una verifica e che degli argomenti non sono chiari scrivici per tempo, non ridurti al giorno prima...
In ogni caso cercherò di chiarire i tuoi dubbi, la scomposizione ti servirà sempre.
Il teorema di Ruffini non si può usare sempre per scomporre un polinomio, e comunque ricorda che di solito viene usato solo come ultima spiaggia: prima prova a scomporre un polinomio con tutti gli altri metodi, quindi raccoglimento a fattor totale, a fattor parziale, trinomi speciali, prodotti notevoli ecc. Se nulla di questo riesce, prova con Ruffini; se neanche così riesci a scomporlo, è irriducibile.
Per prima cosa, ricordiamoci qual è il divisore di una divisione per Ruffini: è sempre un polinomio di primo grado a una sola incognita di tipo x - a: x è l'incognita, e a è un termine noto. Ad esempio, potremmo trovare come divisore x-2, o x+3, o x+1: la x ± un numero.
Per spiegarti quando si può usare e quando no, dobbiamo prima enunciare un teorema che adesso ti sembrerà complicato perché gli enunciati dei teoremi sembrano sempre complicati, ma quando faremo un esempio non sembrerà così difficile. Il teorema di Ruffini afferma che l'opposto del termine noto del divisore, sostituito alla x del polinomio A di variabile x, che chiamiamo A(x), ci dà l'espressione che svolta fornisce il resto della divisione.
Affinché un'espressione sia divisibile per un'altra espressione, il resto deve essere 0; quindi, dobbiamo trovare un numero tale che, sostituendo il suo opposto alla x del polinomio da dividere, il risultato dell'espressione è 0. Questi numeri che troveremo si chiamano RADICI o ZERI del polinomio. Quando hai un polinomio, devi quindi trovare i suoi possibili zeri (si chiamano così ma non sono 0, sono dei numeri il cui opposto porta a 0 il polinomio) e provare a sostituire i loro OPPOSTI alla x (non dimenticarti mai di mettere il - davanti altrimenti si sbaglia tutto). Se ottieni 0 dall'espressione, sostituendo, allora il polinomio è divisibile per quella x - a. Ti starai però chiedendo quali sono i possibili zeri del polinomio, quelli fra cui cercare, quelli di cui devi provare a sostituire l'opposto alla x del polinomio per vedere se esce 0.
1) Prima di tutto, guardiamo fra i numeri interi, perché in quel caso è molto più semplice: devi solo controllare fra i DIVISORI DEL TERMINE NOTO.
2) Se nessuno dei divisori del termine noto porta a 0 l'espressione, guardiamo fra i numeri razionali: devi controllare fra tutte le frazioni che hanno:
• al numeratore, un DIVISORE DEL TERMINE NOTO quindi come prima;
• al denominatore, invece, un DIVISORE DEL COEFFICIENTE DEL TERMINE DI GRADO MASSIMO (quindi se hai per esempio 2x³-x²+2x-1, i possibili denominatori sono i coefficienti del termine di grado massimo che è 2x³: i divisori da mettere al denominatore del possibile zero sono 2, -2, 1 e -1).
Se nessuno di questi metodi funziona, non è scomponibile con Ruffini.
Facciamo un esempio!
Immaginiamo di avere questo polinomio (l'ho preso dal libro Matematica multimediale.blu di Massimo Bergamini e Graziella Barozzi, pubblicato dalla Zanichelli perché inventarne è un po' difficile ed avevo già gli esercizi pronti):
A(x) = 2x³-9x²+7x+6
Abbiamo bisogno di scomporlo, abbiamo provato tutte le tecniche, ma non siamo riuscite in alcun modo. Ricorriamo a Ruffini, sperando che ci possa aiutare lui, altrimenti è irriducibile.
Ci ricordiamo del teorema di Ruffini, che dice che quel polinomio A(x) è divisibile per il binomio di 1° grado x - a se e solo se A(a) = 0, quindi se e solo se l'opposto di a, cioè il termine noto del binomio divisore, sostituito alla x del polinomio, porta a un'espressione che dà 0.
Quindi, pensiamo che dobbiamo trovare i possibili zeri del polinomio, e poi provare a sostituire l'opposto di ognuno cercando uno che sostituito dia un'espressione che risulti 0.
Cerchiamo per prima cosa fra gli zeri interi, quindi i divisori del termine noto.
Il termine noto di questo polinomio è +6.
I divisori di +6 (attenta, devi considerare e provare sia negativi sia positivi) sono:
+6, -6, -3, +3, +2, -2, +1 e -1.
Sono tanti; cominciamo da +6 andando in ordine.
L'opposto è -6, quindi sostituisco -6 alla x:
A(-6)= 2(-6)³-9(-6)²+7(-6)+6 ti risparmio un po' di calcoli che altrimenti dovremmo effettuare dicendoti che il risultato non è 0, quindi dobbiamo provare qualcos'altro.
Proviamo con -6; l'opposto è +6 quindi sostituiamo +6 alla x:
A(6)= 2(6)³-9(6)²+7(6)+6=432-324+42+6= diverso da 0. Quindi neanche -6 va bene.
Proviamo adesso con -3. L'opposto è +3 e lo sostituiamo alla x:
A(3)=2(3)³-9(3)²+7(3)+6= 54-81+21+6 = 0. Finalmente abbiamo trovato un'espressione che dà 0! Quindi, uno zero del polinomio è -3.
Facciamo la divisione con Ruffini, quella con la tabella, qui mi è molto difficile riprodurla ma immagino tu la sappia fare altrimenti non mi avresti chiesto quando si può usare ma come si usa. Il risultato è 2x²-3x-2. Quindi, il polinomio iniziale è uguale a (2x²-3x-2)(x-3).
Ma se anche il polinomio che abbiamo trovato fosse scomponibile con Ruffini? Proviamo a ripetere!
Cerchiamo di nuovo fra gli zeri del polinomio: cerchiamo prima fra i numeri interi, quindi fra i divisori del termine noto.
Il termine noto ora è -2. I suoi divisori sono:
-2, +2, -1, +1.
Proviamo con -2; sostituiamo alla x +2, cioè l'opposto:
B(2)=2(2)²-3(2)-2 = 8-6-2=0 siamo state fortunatissime e abbiamo trovato lo zero al primo colpo!
Facciamo l'altra divisione con Ruffini per x-2 (quindi mettendo nell'angolo in basso a sinistra nella tabella il +2, cioè quello che abbiamo sostituito). Il risultato è 2x+1. E' di primo grado, quindi non possiamo dividere ulteriormente.
Abbiamo quindi scomposto il polinomio: 2x³-9x²+7x+6 = (2x+1)(x-2)(x-3)!
Ho fatto tutto quest'esempio per arrivare al fatto che se non trovi un numero che ti porti l'espressione a 0 sostituendo l'opposto né fra gli zeri interi né fra quelli relativi, non è scomponibile con Ruffini. Credo che questa ripetizione comunque abbia fatto bene, no?
Per quanto riguarda la seconda richiesta, se la x è la variabile, la y è un parametro; considerala come un numero.
Se hai ancora difficoltà riscrivici pure.
Ciao!
Delia
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