Il Gomitolo

Ciao Isabela!
Non preoccuparti, adesso proveremo a chiarire subito tutto.
Qui trovi la spiegazione di insieme unione:
https://www.ilgomitolo.net/scuola/risposta5366.html
Se abbiamo due insiemi A e B, entrambi sono un contenuto dell'insieme unione AUB, che li comprende entrambi. L'insieme unione è formato da tutti gli elementi di A + tutti gli elementi di B, ma senza ripeterli se ne hanno uno o più in comune.

Per quanto riguarda le relazioni, spieghiamo subito tutte le varie proprietà:

- riflessiva: diciamo che una relazione in un insieme A (ad esempio, ma puoi chiamarlo come vuoi) è riflessiva se TUTTI gli elementi di A sono in relazione con se stessi, o in altre parole se la relazione R che abbiamo definito vale oltre che per x R y anche per x R x.
Facciamo un esempio:
prendiamo l'insieme A composto dagli alunni della classe 1° A. La nostra relazione è R = va nella stessa classe di. Siccome vanno tutti nella stessa classe, la relazione vale per tutti gli alunni: Marco R Chiara, cioè Marco va nella stessa classe di Chiara, o Alessia R Luigi, ad esempio (così come potremmo indicare Marco con x e Chiara con y e dire che xRy). Ma se prendiamo Marco, cioè x, possiamo anche dire che ovviamente va nella stessa classe di se stesso. Quindi xRx. Siccome TUTTI vanno nella stessa classe di se stessi, naturalmente, la relazione nell'insieme A della classe 1° A è riflessiva.
- antiriflessiva: una relazione in un insieme che chiamiamo B per distinguerlo da quello dell'esempio precedente è detta antiriflessiva quando NESSUN elemento di A è in relazione con se stesso. E' un po' come se fosse il contrario di quella riflessiva: per la proprietà riflessiva tutti devono essere in relazione con se stessi, mentre per quella antiriflessiva nessuno può.
Esistono anche "vie di mezzo", cioè situazioni in cui magari alcuni elementi sono anche in relazione con se stessi, ma altri no. In questo caso non è abbiamo né che tutti sono in relazione con se stessi, né che nessuno lo è. La relazione non è quindi né riflessiva né antiriflessiva.

- simmetrica: diciamo che una relazione in un insieme A è simmetrica se, quando x è in relazione con y, anche y è in relazione con x: xRy ---> yRx. Questo vale per ogni coppia di elementi dell'insieme, non solo x e y: se per esempio ci sono anche a e b, dovrà valere anche che aRb ---> bRa.
Facciamo un esempio:
consideriamo un insieme composto dagli abitanti di un quartiere. La nostra relazione è R = abita nello stesso quartiere di. Noi sappiamo che Paolo e Maria, rispettivamente x e y, abitano nello stesso quartiere; quindi Paolo abita nello stesso quartiere di Maria, e possiamo dire che x R y. Ma logicamente anche Maria abita nello stesso quartiere di Paolo, quindi y R x e dunque la relazione gode della proprietà simmetrica.
- antisimmetrica: diciamo che una relazione in un insieme B è antisimmetrica quando x è in relazione con y, ma y non è in relazione con x. Come per la proprietà simmetrica, questo dovrà valere anche per altri elementi dell'insieme: in NESSUNA delle coppie presenti nell'insieme x è in relazione con y e anche y è in relazione con x.
Facciamo un esempio:
consideriamo un insieme composto da alcuni ragazzi in una fila. Fra tanti ragazzi, abbiamo Piero e Rosa che sono l'uno davanti all'altra. La relazione è R = è davanti a. Possiamo dire che Piero è davanti a Rosa, quindi xRy; ma di conseguenza Rosa non può essere contemporaneamente dietro e davanti a Piero! Quindi y non è in relazione con x, perché Rosa non è davanti a Piero. Questo vale per TUTTI i ragazzi, poiché non possono essere contemporaneamente davanti e dietro a un'altra persona, e quindi la relazione gode della proprietà antisimmetrica.
Come per la proprietà riflessiva e quella antiriflessiva, anche per quella simmetrica e antisimmetrica vale il discorso di prima: potremmo avere, in un insieme, una coppia di elementi in relazione l'uno con l'altro e un'altra coppia in cui xRy, ma y non è in relazione con x. Alcune coppie, insomma, che soddisfano la proprietà simmetrica e altre che non la soddisfano: non sono né tutte simmetriche né tutte antisimmetriche, dunque la relazione non è né simmetrica né antisimmetrica.

- transitiva: una relazione in un'insieme A è detta transitiva se, per OGNI x in relazione con un secondo elemento y, e y in relazione con un terzo elemento z, anche x è in relazione con z. Se abbiamo la proprietà transitiva, quindi, se xRy, e yRz, allora xRz.
Facciamo un esempio:
prendiamo un insieme A composto dai numeri 2, 4 e 8. La nostra relazione è R = è multiplo di. 8 è in relazione con 4, perché è multiplo di 4, e a sua volta 4 è in relazione con 2 perché è multiplo di 2. E' anche vero che 8 è multiplo di 2. Quindi, avendo 8 come x, 4 come y e 2 come z, è vero che se xRy, e yRz, xRz. La relazione gode quindi della proprietà transitiva.

Quando un insieme non gode della proprietà transitiva si dice semplicemente che non gode della proprietà transitiva. ;)

Spero di aver fatto un po' di chiarezza, Isabela.
Facci sapere se ora hai capito o se hai altri dubbi!
Ciao!