Il Gomitolo

Ciao Evelina! Che bel nome hai, mi è sempre piaciuto tanto.

Partiamo dal problema di algebra: penso che la difficoltà principale sia l'impostazione, perché l'equazione non è assolutamente difficile da risolvere.
Dobbiamo leggere molto bene la traccia e capire quale può essere la nostra incognita: il numero di uomini, di donne, di ragazzi o di ragazze?
Analizziamo i dati scrivendoli:

ragazzi = 1/3 delle donne
ragazze = 1/3 delle donne
donne = 6/5 degli uomini

Non ci sono date indicazioni sul numero degli uomini. Per cui, siccome il numero dei ragazzi e delle ragazze va calcolato a partire da quello delle donne, che a propria volta va calcolato moltiplicando per 6/5 quello degli uomini, possiamo impostare la nostra incognita proprio sul numero degli uomini, che è quello diciamo più "primitivo" e "puro", su cui non abbiamo altre indicazioni ma con il quale possiamo calcolare tutti gli altri numeri che ci servono.

L'equazione è un'uguaglianza fra il primo membro, prima della x, e il secondo membro, dopo della x.
Possiamo scrivere, come ci dice il problema, che:

uomini + donne + ragazzi + ragazze = 300 (stiamo parlando sempre del numero di uomini, di donne, di ragazzi e di ragazze partecipanti)

Impostando l'incognita, cioè la x, sugli uomini, quindi semplicemente sostituendo alla parola "uomini" la x, otteniamo questo:

x + donne + ragazzi + ragazze = 300

Riguardiamo i dati che abbiamo scritto prima e trascriviamoli sostituendo a "uomini" la x come abbiamo appena fatto ed otterremo la seguente equazione:

x + 6/5 x + 1/3 (6/5 x) + 1/3 (6/5 x) = 300

Svolgiamo ora l'equazione, che non dovrebbe essere un problema, ma a questo punto facciamola insieme per scongiurare ogni rischio di problemi:

x + 6/5x + 2/3(6/5 x) = 300
x + 6/5 x + 4/5 x = 300    sommiamo adesso x + 6/5 x + 4/5 x
15/5 x = 300
3x = 300
x = 100

La x è il numero degli uomini che avevamo impostato come incognita.
A partire dal numero degli uomini puoi calcolarti tutto il resto: il numero delle donne, che è 6/5 (100), e dei ragazzi e delle ragazze, cioè, sommando 1/3+1/3, siccome il loro numero è uguale, 2/3 (6/5*100).
Otterrai i numeri di tutti i partecipanti alla festa: uomini, donne, ragazzi e ragazze.
Puoi anche fare la prova, se vuoi: prova a sommarli tutti quanti e vedrai che riuscirà proprio 300 come indica il problema.

Questo era per quanto riguarda il problema, e spero di essere stata chiara, ho cercato di chiarire tutti i passaggi critici.

Per i trapezi, posso presentarteli e spiegarne le proprietà più importanti; però non so quali problemi o dimostrazioni devi svolgere, quindi se c'è un problema in particolare che non ti riesce ma hai capito il resto scrivici pure qual è e cercheremo di capire la difficoltà insieme e risolverla.

Definiamo trapezio un quadrilatero che ha solo due lati paralleli. Dunque lo riconosciamo perché ha quattro lati di cui due sono paralleli e due no, a differenza dei parallelogrammi. I lati paralleli sono rispettivamente base maggiore e base minore (non possono essere uguali perché altrimenti sarebbe un parallelogramma) e quelli non paralleli sono detti lati obliqui.
Ecco un trapezio:
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/ParoleMate/Mar_08/Img/Trapezio%20(2).jpg

Ci sono due tipi particolari di trapezio: il trapezio isoscele, che ha i lati obliqui congruenti, e il trapezio rettangolo, che ha solo uno dei lati obliqui perpendicolare alle basi che quindi forma due angoli retti con esse.
Ecco un trapezio isoscele:
http://blog.studenti.it/problemsolve/wp-content/uploads/2012/10/Trapezio_isoscele1.jpg
e uno rettangolo:
http://blog.studenti.it/problemsolve/wp-content/uploads/2012/07/Trapezio_Rettangolo1.png

Concentriamoci sul trapezio isoscele: esso ha delle condizioni necessarie (proprietà che sono sicuramente vere se il trapezio è isoscele) e sufficienti (se una di queste è vera, allora certamente il trapezio è isoscele).

La prima proprietà è che in un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a ognuna delle basi sono congruenti.
Quindi, nella figura che ti ho dato, l'angolo DAB è congruente all'angolo ABC e l'angolo BCD è congruente all'angolo CDA.
Io non mi dilungo con le dimostrazioni, va bene? Di solito si trovano sui libri di matematica e dovrebbero essere anche sul tuo, e inoltre non penso siano quelle a darti problemi se hai difficoltà con i problemi.

La seconda proprietà è che in un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti.
Quindi nella figura che ti ho dato prima AC è congruente a BD perché diagonali.

Queste due proprietà sono anche condizioni sufficienti; quindi:
- SE gli angoli adiacenti a ognuna delle due basi di un trapezio sono congruenti OPPURE
- SE le diagonali sono congruenti
ALLORA il trapezio è certamente isoscele.

Prova a leggere anche da questi siti per ulteriori spiegazioni:
http://www.ripmat.it/mate/f/fh/fha.html
http://www.lezionidimatematica.net/Quadrilateri/lezioni/quadrilateri_lezione_03.htm
http://www.lezionidimatematica.net/Quadrilateri/lezioni/quadrilateri_lezione_04.htm
http://www.lezionidimatematica.net/Quadrilateri/lezioni/quadrilateri_lezione_05.htm
http://www.lezionidimatematica.net/Quadrilateri/lezioni/quadrilateri_lezione_06.htm

Per quanto riguarda il teorema di Talete, mi dispiace, purtroppo non l'ho ancora studiato. Potresti dirmi l'enunciato del teorema con il quale hai problemi? Sto cercando dei siti per aiutarti, ma ne sto trovando di differenti e non sono sicura di cosa consigliarti.

Grazie, e scusami.
Spero di essere stata chiara con quello che ho potuto spiegarti; se hai altri problemi o difficoltà con un problema in particolare, riscrivici pure!
Ciao!