Il Gomitolo

Ciao Angela, immagino che sia la prima parte del problema a crearti difficoltà, perché in effetti se il problema è scritto così è davvero poco chiaro...
Vediamo di capire il problema.
intanto, già dalla prima lettura lo puoi dividere in 2 parti, la prima riguarda un triangolo rettangolo e la seconda un prisma.
seconda cosa da guardare è la domanda, vogliono sapere l'altezza e ti danno l'area quindi dovrai usare una formula del prisma che contenga queste info.
ora iniziamo a disegnare, perché la cosa più importante in geometria è fare il disegno del problema.
iniziamo quindi col triangolo rettangolo

ti dice
cateti sono 12 quinti dell’altro

Qui probabilmente o il testo è scritto male si suo o hai saltato un pezzetto e quindi diventa un po' incomprensibile...
sicuramente dice "i cateti sono l'uno i dodici quinti dell'altro e la loro somma è 14"

E' sempre molto difficile capire nei problemi le parti con le indicazioni frazionarie ma ragionando per piccoli passi ci si arriva...

i cateti sono 2 e solo 2, quindi (per mia comodità) saranno C e c
ti dicono che uno è i 12/5 dell'altro
noterai subito che 12/5 è una frazione impropria, quindi questo è quello grande.
Ma è anche una frazione e le frazioni si possono leggere anche così: "prendo 12 pezzi uguali a quelli che mi sono venuti fuori dividendo qualcos'altro in 5 parti"
...ma tu hai 2 cateti, e uno è lungo 12 pezzi uguali a quelli che mi sono venuti fuori dividendo l'altro cateto in 5 parti...
Scritto in linguaggio matematico
c=(12/5)C (cateto piccolo è uguale a dodici quinti del cateto grande)
disegniamo quindi un segmento non troppo lungo e dividiamolo in 5 parti
ora disegniamone un altro lungo 12 di questi pezzetti.
Per comodità falli uno sotto l'altro partendo dalla stessa colonna di quadretti
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benissimo ora hai i tuoi due cateti (ovviamente lo dovrai poi mettere a posto ma continuiamo l'es per capire quanto sono lunghi

il problema prosegue dicendo
la loro differenza e 14 cm
Messi così quale è la differenza? è la parte che su quello lungo comincia appena finisce quello più corto quindi c-C=14cm
c lo abbiamo scritto prima quindi sostituiamo
(12/5)C-C=14
E questa equazione dovresti essere in grado di risolverla da sola... si fa il mcm e poi le moltiplicazioni e in fine le operazioni con l'incognita, poi si semplifica.
Una volta trovato C puoi sostituirlo nella c=(12/5)C e trovi l'altro cateto.

Ora manca il prisma, conosci entrambi i cateti del triangolo della base, ti danno l'area.
Immagino che per area intendano la superficie totale, quindi cosa è e come si trova la superficie totale di un prisma?
sommando le superfici delle basi a quella della della superficie laterale, cioè At=2xAtriangolo+Alaterale
Alle basi hai due triangoli rettangoli dei quali conosci i cateti .... e il teorema di Pitagora!
l'area laterale come si trova? Ovvero superficie laterale, ha la sua formula (che ti lascio andare a cercare perché solo cercando le formule quando servono riuscirai ad impararle) https://www.youmath.it/formulari/formulari-di-geometria-solida/474-prisma-retto.html
Questa formula richiede il perimetro della base (triangolo rettangolo di cui puoi conoscere tutto dal momento che conosci i cateti) e l'altezza
L'altezza è l'incognita del tuo problema ma hai tutto il resto perché del triangolo sai tutto, cateti, ipotenusa e soprattutto il problema ti da l'area, quindi l'unica tua incognita resta l'altezza.